Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания треугольной пирамиды можно найти, используя формулу площади треугольника:

S = (1/2) a b,

где a - сторона основания, b - высота опущенная на эту сторону.

Так как в задании говорится о правильной треугольной пирамиде, то у нас есть все стороны и углы.

Так как боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, то угол между стороной основания и боковым ребром также равен 45°. Тогда боковое ребро можно найти используя формулу косинусов:

a^2 = c^2 + h^2 - 2ch * cos(45),

где c - апофема.

Так как апофема равна 3√5 дм, то c = 3√5 дм.

Теперь подставим все в формулы:

b = a sin(45) = a √2 / 2,
c = 3√5 дм,
S = (1/2) a b = (1/2) a^2 √2 / 2,
h = c sin(45) = 3√5 √2 / 2 = 3√10 / 2.

Теперь подставим все в формулу объема:

V = (1/3) S h = (1/3) [(1/2) a^2 √2 / 2] [3√10 / 2] = (1/3) a^2 √2 * √10 / 4.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен:

V = a^2 * √20 / 12.