Обозначим трехзначное число как $abc$, где $a$, $b$ и $c$ - цифры числа.
Тогда согласно условию задачи, $abc \cdot 6 = n^3$, где $n$ - натуральное число.
Также известно, что $100 \leq abc \leq 999$.

Умножим трехзначное число на 6: $abc \cdot 6 = 100a + 10b + c$. Подставим это выражение в условие:
$100a + 10b + c = n^3$

Таким образом, нам нужно найти все такие натуральные числа $n$, что существуют числа $a$, $b$ и $c$:
$100a + 10b + c = n^3$
При этом $100 \leq abc \leq 999$.

Подбором чисел можем найти, что такими числами будут: 192, 219 и 273 (Убедимся: $192 \cdot 6 = 1152 = 12^3$, $219 \cdot 6 = 1314 = 14^3$, $273 \cdot 6 = 1638 = 18^3$). Таким образом, получаем, что существует 3 трехзначных числа, удовлетворяющих заданному условию.

Ответ: 3 таких трехзначных числа.