1) Для первой системы векторов:

а1=(1;0;1;-3), а2=(1;0;0;0), а3=(4;4;3;-6), а4=(0;3;0;1), а5=(-1;1;4;2)

Составим матрицу из этих векторов и приведем ее к ступенчатому виду, а затем найдем базис:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 4 & 3 & 1 \ 1 & 0 & 3 & 0 & 4 \ -3 & 0 & -6 & 1 & 2 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 4 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \ 0 & 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Базис: { (1;0;1;-3), (0;3;0;1), (4;4;3;-6) }

Теперь выразим оставшиеся векторы через найденный базис:

а2 = -1/3 а1 + 1/3 а3 + 1/3 а4
а5 = -1/2 а1 + 1/2 а3 + 1/2 а4

2) Для второй системы векторов:

а1=(8;8;7;6), а2=(-8;7;-9;1), а3=(0;7;0;8), а4=(0;0;0;7), а5=(9;9;8;8)

Составим матрицу из этих векторов и приведем ее к ступенчатому виду, а затем найдем базис:

\begin{pmatrix} 8 & -8 & 0 & 0 & 9 \ 8 & 7 & 7 & 0 & 9 \ 7 & -9 & 0 & 0 & 8 \ 6 & 1 & 8 & 7 & 8 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 8 & -8 & 0 & 0 & 9 \ 0 & 15 & 7 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 8 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 7 & 8 \end{pmatrix}

Базис: { (8;8;7;6), (-8;7;-9;1), (0;7;0;8) }

Теперь выразим оставшиеся векторы через найденный базис:

а4 = 1/7 а1 - 1/7 а2
а5 = -8/15 а1 + 1/15 а2 + 7/15 * а3

3) Для третьей системы векторов:

а1=(0;0;1;-1), а2=(3;-1;0;3), а3=(2;0;0;-1), а4=(1;-1;0;0), а5=(2;3;2;3)

Составим матрицу из этих векторов и приведем ее к ступенчатому виду, а затем найдем базис:

\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 & 1 & 2 \ 0 & -1 & 0 & -1 & 3 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \ -1 & 3 & -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 3 & 2 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 7/3 \ 0 & 0 & 2 & 1/3 & 9/3 \end{pmatrix}

Базис: { (0;0;1;-1), (3;-1;0;3), (2;0;0;-1) }

Теперь выразим оставшиеся векторы через найденный базис:

а4 = -2 а1 + 9/2 а3
а5 = 3/2 а1 + 7/2 а3

4) Для четвертой системы векторов:

а1=(4;3;2), а2=(2;3;4), а3=(3;2;4), а4=(1;2;3), а5=(0;0;1)

Система уже имеет вид базиса, так как векторы линейно независимы.

Другой базис для этой системы:

{ (4;3;2), (2;3;4), (3;2;4) }

Теперь выразим оставшиеся векторы через новый базис:

а4 = 2 а1 - а2
а5 = -6 а1 + 3 а2 + 4 а3