Для решения уравнения сначала выразим все синусы через синус и косинус удвоенного угла:

sin2x = 2sinxcosx
sin3x = 3sinx - 4sin^3x
sin4x = 2sin2xcos2x = 2(2sinxcosx)(2cos^2x - 1) = 4sinx(2cos^2x - 1)
sin5x = sin(2x+3x) = sin2xcos3x + cos2xsin3x = 2sinxcosx(4cos^2x - 3) + 2(2cos^2x - 1)(3sinx - 4sin^3x) = 8sinxcosx(2cos^2x - 1) + 6(2cos^2x - 1)sinx - 8(2cos^2x - 1)sin^3x

Подставим все выражения в уравнение и преобразуем его:

2sinx*cosx + 3sinx - 4sin^3x + 4sinx(2cos^2x - 1) + 8sinx(2cos^2x - 1) + 6(2cos^2x - 1)sinx - 8(2cos^2x - 1)sin^3x = 0
2sinx(cosx + 2 + 4(2cos^2x - 1) + 8(2cos^2x - 1) + 6(2cos^2x - 1) - 8(2cos^2x - 1)sin^2x = 0
2sinx(cosx + 8cos^2x - 2 + 16cos^2x - 8 + 12cos^2x - 6 - 16cos^2x + 8sin^2x) = 0
2sinx(36cos^2x + 6sin^2x) = 0
2sinx(36(cos^2x + sin^2x)) = 0
2sinx(36) = 0
sinx = 0

Таким образом, уравнение sin2x+sin3x+sin4x+sin5x=0 имеет решение sinx = 0. В пределах от 0 до 2П синус равен 0 при x = 0, П, 2П.