Для того чтобы найти размеры прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей, нам необходимо заметить, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон, то есть 64 = 2x + 2y, где x и y - размеры сторон прямоугольника.

Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, S = x * y, то перепишем уравнение периметра в виде x = 32 - y. Затем подставим полученное выражение для x в уравнение для площади:

S = $32-y$ * y = 32y - y^2

Для нахождения максимума функции S$y$ = 32y - y^2, найдем производную относительно у и приравняем к нулю:

S'$y$ = 32 - 2y = 0
2y = 32
y = 16

Теперь найдем x с помощью x = 32 - y:
x = 32 - 16
x = 16

Итак, размеры прямоугольника должны быть 16 см на 16 см для того, чтобы его площадь была наибольшей.