Для начала рассмотрим выражение | sin a + cos a |. Мы можем представить его как расстояние между точкой (sin a, cos a) и началом координат в декартовой системе координат.

Так как наша цель - доказать неравенство | sin a + cos a | ≤ √2, давайте представим данное выражение в виде скалярного произведения вектора (sin a, cos a) на вектор (1, 1):

| sin a + cos a | = | (sin a, cos a) • (1, 1) |

Так как скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, то

| (sin a, cos a) • (1, 1) | = |(sin a, cos a)| |(1, 1)| cos(π/4)

Длины векторов (sin a, cos a) и (1, 1) равны sqrt(sin^2(a) + cos^2(a)) = sqrt(1) = 1 и sqrt(2) соответственно.

Таким образом, получаем:

| sin a + cos a | = | (sin a, cos a) • (1, 1) | = 1 √2 cos(π/4) = √2 cos(π/4) = √2 √(2)/2 = √2 / √2 = √2

Таким образом, мы доказали, что | sin a + cos a | ≤ √2.