Для того чтобы доказать это утверждение, мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса разности двух углов:

cos$\alpha -\beta$ = cosαcosβ + sinαsinβ

Сравним данное выражения с тем, что дано в условии:

cos$\pi /4$cosx - sin$\pi /4$sinx

У нас дано, что это выражение меньше или равно корень из 2 на 2:

cos$\pi /4$cosx - sin$\pi /4$sinx ≤ √2/2

Подставим значения косинуса и синуса угла π/4:

cos$\pi /4$ = √2/2
sin$\pi /4$ = √2/2

Получаем:
$\surd 2/2$cosx - $\surd 2/2$sinx ≤ √2/2

Сокращаем √2/2 на обеих сторонах неравенства:
cosx - sinx ≤ 1

Это неравенство выполняется, так как квадрат суммы косинуса и синуса угла всегда меньше или равен 1. Таким образом, мы успешно доказали, что выражение cos$\pi /4$cosx - sin$\pi /4$sinx меньше или равно корень из 2 на 2.