Предположим, что два последовательных числа не являются взаимно-простыми. То есть у них есть общий делитель, отличный от 1. Пусть эти числа обозначаются как a и a + 1.

Предположим, что существует такое натуральное число d > 1, которое делит и a, и a + 1. То есть:
a = dx
a + 1 = dy
где x и y - натуральные числа.

Тогда можно записать:
1 = dy - dx
1 = d(y - x)

Так как 1 - простое число и не имеет никаких делителей, кроме 1 и самого себя, это означает, что d = 1. Но это противоречит нашему исходному предположению, что d > 1.

Таким образом, два любых последовательных числа являются взаимно-простыми.