Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой.

Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. Тогда треугольник ACD и треугольник BCD подобны треугольнику ABC.

Так как треугольник ACD и треугольник BCD подобны треугольнику ABC, отношение CD к AC равно отношению BD к BC:

CD / AC = BD / BC.

Также заметим, что проекции катетов AC и BC на гипотенузу AB равны соответственно AC и BC.

Теперь рассмотрим отношения проекций катетов на гипотенузу AB:

AC / AB и BC / AB.

Учитывая, что AC / AB = CD / AC и BC / AB = BD / BC, получаем следующее:

AC / AB = CD / AC и BC / AB = BD / BC,

AC CD = AB^2 и BC BD = AB^2.

Таким образом, мы доказали, что высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.