Докажем это по индукции.

База индукции: при n=1
5+6+7+8+9 = 35 = 1*(1+9)/2

Шаг индукции: предположим, что равенство выполняется для некоторого n=k, то есть
5+6+7+...+(k+4) = k(k+9)/2

Докажем для n=k+1:
5+6+7+...+(k+4) + (k+5) = k(k+9)/2 + (k+5)

По предположению индукции:
k(k+9)/2 + (k+5) = k(k+9+2)/2 + 5 = (k+1)(k+10)/2 = (k+1)((k+1)+9)/2

Таким образом, равенство доказано для любого натурального n по индукции.