Ниже — несколько независимых доказательств и затем вариант задания с требованием привести ослабления и контрпримеры.
Доказательство 1 (векторное). Пусть вершины параллелограмма $A,B,C,D$ так, что $AB=\mathbf{b}$, $AD=\mathbf{d}$. Тогда $AC=\mathbf{b}+\mathbf{d}$ и $BD=BA+AD=-\mathbf{b}+\mathbf{d}$. Положим $A$ в начало координат ($A=0$). Тогда координаты вершин: $B=\mathbf{b},D=\mathbf{d},C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$. Средняя точка $AC$ равна $\frac{0+(\mathbf{b}+\mathbf{d})}{2}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$; средняя точка $BD$ равна $\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$. Следовательно диагонали имеют одну общую середину, значит пересекаются и делятся пополам.
Доказательство 2 (координатное). Поставим $A(0,0),B(a,0),D(0,b)$. Тогда из параллельности $C(a,b)$. Диагонали: $AC$ соединяет $(0,0)$ и $(a,b)$, его середина $(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$. Диагональ $BD$ соединяет $(a,0)$ и $(0,b)$, её середина тоже $(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$. Значит пересечение — середина обеих диагоналей.
Доказательство 3 (по подобию треугольников). Пусть диагонали пересекаются в $O$. Так как $AB\parallel CD$ и $AD\parallel BC$, то
$\angle AOB=\angle COD$ (вертикальные) и $\angle ABO=\angle CDO$ (альтернативные), значит треугольники $AOB$ и $COD$ подобны, откуда
$$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}.\text{\hspace{1em}(1)}$$ А также $\angle AOD=\angle COB$ и $\angle ADO=\angle CBO$, поэтому треугольники $AOD$ и $COB$ подобны и
$$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}.\text{\hspace{1em}(2)}$$ Из (1) и (2) получаем $\frac{BO}{DO}=\frac{DO}{BO}$, значит $BO=DO$. Подставляя в (1) даём $AO=CO$. Таким образом $O$ — середина обеих диагоналей.
Доказательство 4 (аффинное или «сдвигом»). Любой параллелограмм можно превратить аффинным преобразованием (сдвиг/сжатие) в прямоугольник; аффинные преобразования сохраняют коллинеарность и отношение отрезков на одной прямой (в частности середину). В прямоугольнике диагонали пересекаются в середине (очевидно по симметрии), значит в исходном параллелограмме их образы тоже пересекаются и делятся пополам.
Вариант задания (исследование ослаблений условий). Пусть исходное утверждение: «в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны $\Rightarrow$ диагонали пересекаются и делятся пополам». Исследуйте и ответьте, какие ослабления условий приводят к тому, что заключение перестаёт быть верным; для каждого ослабления приведите контрпример (координаты):
1) Ослабление: требовать только одну пару противоположных сторон параллельной (трапеция).
Контрпример: $A(0,0),B(4,0),C(3,2),D(0,2)$. Тогда одна пара параллельна, но середины диагоналей: середина $AC=(\frac{3}{2},1)$, середина $BD=(2,1)$ — не совпадают. Значит диагонали не делят друг друга пополам.
2) Ослабление: требовать только одну пары противоположных сторон равными длинами (вместо параллельности). В общем это не достаточно; предложите построить явный контрпример (например, произвольный невырожденный четырёхугольник с одной парой равных сторон) и проверить, что середины диагоналей разные. (Задание: привести конкретные координаты и вычислить средние точки.)
3) Проверка границ: показать, что требование «обе пары противоположных сторон равны по длине» эквивалентно условию «параллельны обе пары» (т.е. оба этих условия приводят к параллелограмму), поэтому такое ослабление не ломает утверждение.
4) Дополнительно: показать эквивалентность обратного утверждения: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали делят друг друга пополам, то это параллелограмм. (Задание: доказать это или привести контрпример для невыпуклого случая.)
Задача для учащегося: для каждого из пунктов 1–4 привести полное обоснование (или контрпример с координатными вычислениями), и сделать вывод, какие отдельные условий можно ослабить без потери истинности, а какие — нельзя.