Дана система линейных уравнений с параметром t: { x + y = 2, tx + (t+1)y = 3 }. Проанализируйте для каких значений t система имеет единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений; опишите геометрическую интерпретацию в плоскости и как она зависит от t
Дана система линейных уравнений с параметром t: { x + y = 2, tx + (t+1)y = 3 }. Проанализируйте для каких значений t система имеет единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений; опишите геометрическую интерпретацию в плоскости и как она зависит от t
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Δ=∣11tt+1∣=1⋅(t+1)−1⋅t=1. \Delta=\begin{vmatrix}1&1\\[4pt]t&t+1\end{vmatrix}=1\cdot(t+1)-1\cdot t=1.
Δ= 1t 1t+1 =1⋅(t+1)−1⋅t=1. Поскольку Δ=1≠0\Delta=1\neq 0Δ=1=0 при всех вещественных ttt, система имеет единственное решение для всех ttt.
Найдём решение по правилу Крамера:
x=∣213t+1∣Δ= 2(t+1)−3=2t−1,y=∣12t3∣Δ=3−2t. x=\frac{\begin{vmatrix}2&1\\[4pt]3&t+1\end{vmatrix}}{\Delta}=\;2(t+1)-3=2t-1,
\qquad
y=\frac{\begin{vmatrix}1&2\\[4pt]t&3\end{vmatrix}}{\Delta}=3-2t.
x=Δ 23 1t+1 =2(t+1)−3=2t−1,y=Δ 1t 23 =3−2t.
Выводы:
- Единственное решение при всех t∈Rt\in\mathbb{R}t∈R: (x,y)=(2t−1, 3−2t)(x,y)=(2t-1,\;3-2t)(x,y)=(2t−1,3−2t).
- Бесконечно многих решений нет ни при каком ttt.
- Совместность без решений тоже не возникает.
Геометрическая интерпретация: это две прямые
L1: x+y=2(наклон −1),L2: tx+(t+1)y=3. L_1:\;x+y=2\quad(\text{наклон }-1),
\qquad
L_2:\;tx+(t+1)y=3.
L1 :x+y=2(наклон −1),L2 :tx+(t+1)y=3. Наклон L2L_2L2 равен −tt+1-\dfrac{t}{t+1}−t+1t при t≠−1t\neq-1t=−1, при t=−1t=-1t=−1 прямая L2L_2L2 вертикальна (x=−3x=-3x=−3). Наклон L1L_1L1 никогда не совпадает с наклоном L2L_2L2 (уравнение −1=−tt+1-1=-\dfrac{t}{t+1}−1=−t+1t не имеет решений), поэтому прямые пересекаются в единственной точке для всех ttt, причем эта точка даётся указанными формулами.