Краткий результат: максимум достигается в точке $(x,y)=(4,1)$ и $f_{\max }=16$. Ниже три метода и пояснения.
1) Подстановка (одномерный исчисление)
- Из ограничения $x+2y=6\Rightarrow y=\frac{6-x}{2}$, $0\le x\le 6$.
- Подставим в функцию:
$$f(x)=x^2\cdot \frac{6-x}{2}=3x^2-\frac{1}{2}{x}^3.$$ - Найдём критические точки:
$$f^{\prime }(x)=6x-\frac{3}{2}{x}^2=\frac{3}{2}x(4-x)=0\Rightarrow x=0\text{или}x=4.$$ - Проверка: $x=0\Rightarrow y=3,f=0$; $x=4\Rightarrow y=1,f=16$; край $x=6\Rightarrow y=0,f=0$.
- Второй производной: $f^{\prime \prime }(4)=6-3\cdot 4=-6<0$, значит $x=4$ — локальный максимум, и поскольку отрезок компактный — глобальный.
2) Метод множителей Лагранжа
- Лагранжиан $\mathcal{L}=x^{2}y+\lambda (6-x-2y)$.
- Системa:
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2xy-\lambda =0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x^2-2\lambda =0,$$ вместе с $x+2y=6$ и $x,y\ge 0$.
- Из первых двух: $2xy=\lambda$ и $x^2=2\lambda$. Отсюда $2xy=\frac{x^2}{2}$. Для $x\ne 0$ даёт $4y=x$. Подставляя в ограничение: $4y+2y=6\Rightarrow y=1,x=4$.
- Также нужно отдельно рассмотреть случаи $x=0$ или $y=0$ (границы) — они дают точки $(0,3),(6,0)$ с $f=0$.
- Итог тот же: максимум в $(4,1)$, $f=16$.
3) Геометрический (интуитивный) подход
- Допустимая область — отрезок линии $x+2y=6$ между $(6,0)$ и $(0,3)$. Уровни $x^{2}y=\text{const}$ — семейство поверхностей (в сечении кривые уровня).
- Максимум на отрезке достигается там, где кривая уровня соприкасается (касательно пересекает) отрезок, т.е. градиент $\nabla f$ параллелен нормали к отрезку ($\nabla g$), что эквивалентно условиям Лагранжа; это даёт $x=4,y=1$.
- Можно также аргументировать через логарифм: максимизируем $2\ln x+\ln y$ при линейном ограничении — даёт ту же соотношение $x=4y$.
Сравнение удобства
- Подстановка: самый простой и прямой при одном линейном ограничении — приводит к однопеременной задаче.
- Множители Лагранжа: систематичен и удобен при нескольких ограничениях и в многомерном случае; даёт геометрическую интерпретацию $\nabla f\parallel \nabla g$.
- Геометрический/логарифмический: даёт интуицию и иногда позволяет упростить (например через $\ln$), полезен для понимания структуры решения.
Какие дополнительные проверки нужны для граничных точек
- Потому что область допустимых значений замкнута и ограничена, нужно проверить:
- точки пересечения с осями (здесь $(6,0)$ и $(0,3)$),
- случаи, когда один из переменных равен нулю (в Лагранже это особые случаи, не покрытые делением на $x$ или $y$),
- если функция или её производные не определены где-то на границе — проверить отдельно.
- Сравнить значения $f$ в найденных критических точках и на границе; наибольшее даёт глобальный максимум.
Итог: максимум $f_{\max }=16$ при $(x,y)=(4,1)$.