Для доказательства кратности числа (117^3-4^9) числу 53, необходимо показать, что разность (117^3) и (4^9) делится на 53 без остатка.

Найдем остатки (117^3) и (4^9) при делении на 53:

1) Вычислим (117^3) по модулю 53:
(117 \equiv 11 \pmod{53})
(117^2 \equiv 11^2 \equiv 121 \equiv 15 \pmod{53})
(117^3 \equiv 11 \cdot 15 \equiv 165 \equiv 6 \pmod{53})

2) Вычислим (4^9) по модулю 53:
(4^2 \equiv 16 \equiv 13 \pmod{53})
(4^4 \equiv 13^2 \equiv 169 \equiv 10 \pmod{53})
(4^8 \equiv 10^2 \equiv 100 \equiv 41 \pmod{53})
(4^9 \equiv 4 \cdot 41 \equiv 164 \equiv 8 \pmod{53})

Теперь найдем разность (117^3-4^9 \pmod{53}):
(117^3-4^9 \equiv 6 - 8 \equiv -2 \equiv 51 \pmod{53})

Таким образом, разность (117^3-4^9) при делении на 53 даёт остаток 51, что означает, что это число не кратно 53.