а) Уравнение плоскости АВС можно записать в виде:
| x - x₁ y - y₁ z - z₁ |
| 5 - 1 5 - (-1) 4 - 4 |
| 3 - 1 5 - (-1) 1 - 4 | = 0
| 5 - 1 8 - (-1) -1 - 4 |

9x - 6y - 7z + 21 = 0

б) Уравнение прямой АD можно записать в виде:
x = 5 + t
y = 5 + 3t
z = 4 - 4t

в) Поскольку прямая DM перпендикулярна плоскости АВС, то вектор, параллельный прямой DM, должен быть перпендикулярен нормали к плоскости АВС. Нормаль к плоскости АВС: (9, -6, -7). Вектор, параллельный прямой DM: (5 - 3, 8 - 5, -1 - 1) = (2, 3, -2). Найдем уравнение прямой DM:
x = 5 + 2t
y = 5 + 3t
z = 4 - 2t

г) Чтобы найти синус угла между прямой АD и плоскостью АВС, найдем скалярное произведение вектора, параллельного прямой АD, и нормали к плоскости АВС:
(-4, -4, -8) * (9, -6, -7) = 36 + 24 + 56 = 116

Затем найдем длины векторов:
|(-4, -4, -8)| = √(16 + 16 + 64) = √(96) = 4√6
|(9, -6, -7)| = √(81 + 36 + 49) = √(166)

И, наконец, найдем синус угла между прямой АD и плоскостью АВС:
sinα = |(-4, -4, -8) (9, -6, -7)| / (4√6 √166) = 116 / (4√6 √166) = 116 / (4 6 * 13) = 116 / 312 = 29 / 78.

Ответ: Синус угла между прямой AD и плоскостью ABC равен 29 / 78.