Докажем данное равенство методом математической индукции.

База индукции $n=1$:

При n = 1 левая часть равенства равна 12 = 2, а правая часть равена 1$1+1$$1+2$/3 = 12*3/3 = 2.
Таким образом, база индукции верна.

Предположение:

Пусть формула верна для некоторого n = k:

12 + 23 + ... + k$k+1$ = k$k+1$$k+2$/3

Индукционный переход:

Докажем для n = k + 1:

12 + 23 + ... + k$k+1$ + $k+1$$k+2$ = $k+1$$k+2$$k+3$/3

Распишем левую часть:

12 + 23 + ... + k$k+1$ + $k+1$$k+2$ = k$k+1$$k+2$/3 + $k+1$$k+2$ = $k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)$/3
= $(k+1)(k+2)(k)+(k+1)(k+2)$/3
= $k+1$$k+2$$k+3$/3

Таким образом, при n = k + 1 формула также верна.

Исходное равенство доказано.