Для нахождения экстремума функции Z=xy+3x^2-6y^2-6x-y+1 необходимо найти частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю.

∂Z/∂x = y + 6x - 6 = 0
∂Z/∂y = x - 12y - 1 = 0

Решая систему уравнений, найдем значения x и y:

y + 6x - 6 = 0
x - 12y - 1 = 0

y = 6 - 6x
x - 12$6-6x$ - 1 = 0
x - 72 + 72x - 1 = 0
73x = 73
x = 1

y = 6 - 6*1
y = 0

Таким образом, найден экстремум функции при x = 1, y = 0. Для подтверждения того, что это точка минимума или максимума, можно найти вторые производные и исследовать их знаки в этой точке.