Для нахождения члена b₁₀ геометрической прогрессии с использованием суммы первых n членов формулы Sn=3(1-2⁻²) воспользуемся формулой суммы n членов геометрической прогрессии:

Sn = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r),

где
Sn - сумма первых n членов прогрессии,
a₁ - первый член прогрессии,
r - знаменатель прогрессии,
n - количество членов прогрессии.

Из формулы Sn=3(1-2⁻²) получаем, что
Sn = 3(1 - 1/4) = 3 * 3/4 = 9/4.

Таким образом, Sn = b₁₀. Поскольку нам нужно найти b₁₀, мы можем записать это как:

b₁₀ = a₁(1 - r¹⁰)/(1 - r) = 9/4,

так как a₁ - первый член прогрессии и r = 1/2, поскольку это знаменатель прогрессии.

Теперь решим уравнение для b₁₀:

a₁(1 - (1/2)¹⁰)/(1 - 1/2) = 9/4,

a₁(1 - 1/1024)/(1/2) = 9/4,

a₁ = 9/4 * 2/(1 - 1/1024),

a₁ = 9/4 2 1024/1023 = 4608/1023,

a₁ ≈ 4.5.

Следовательно, первый член прогрессии a₁ ≈ 4.5.