Для начала раскроем скобки:

$sin\alpha +cos\alpha$² = sin²α + 2sinαcosα + cos²α

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

1 + 2sinαcosα $sin\alpha +cos\alpha$² = 1 + 2sinαcosα $si{n}^2\alpha +2sin\alpha cos\alpha +co{s}^2\alpha$

Умножим каждый член на 2sinαcosα:

= 1 + 2sinαcosα sin²α + 4sin²αcos²α + 2sinαcosα cos²α

= 1 + 2sin²αcosα + 4sin²αcos²α + 2sinαcos²α

Так как sin²α + cos²α = 1, можем заменить sin²α на 1 - cos²α:

= 1 + 2$1-co{s}^2\alpha$cosα + 4$1-co{s}^2\alpha$cos²α + 2sinαcos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinαcos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinα$1-co{s}^2\alpha$

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinα - 2sinαcos²α

Так как sinα = √$1-co{s}^2\alpha$, можем заменить sinα на √$1-co{s}^2\alpha$:

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2√$1-co{s}^2\alpha$ - 2$1-co{s}^2\alpha$cos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2√$1-co{s}^2\alpha$ - 2cos²α + 2cos⁴α

= 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 2cos²α + 2√$1-co{s}^2\alpha$ + 2cos⁴α - 4cos⁴α + 1

= 2cosα - 2cos³α + 2cos²α + 2√$1-co{s}^2\alpha$ - 3cos⁴α + 1

Таким образом, мы доказали, что 1 + 2sinαcosα * $sin\alpha +cos\alpha$² = 2cosα - 2cos³α + 2cos²α + 2√$1-co{s}^2\alpha$ - 3cos⁴α + 1.