Для начала найдем стороны треугольника. Обозначим стороны треугольника как a, b и c.

Так как периметр треугольника равен 33, то сумма всех сторон равна периметру:
a + b + c = 33

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 4. Известно, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, поделенной на полупериметр (s) треугольника:

r = S / s

где S - площадь, s - полупериметр. Так как S = r * s, то площадь треугольника можно выразить как:

S = r s = 4 s

Также площадь треугольника можно представить через формулу Герона:

S = sqrt(s (s - a) (s - b) * (s - c))

Подставим S = 4 * s в формулу Герона:

4 s = sqrt(s (s - a) (s - b) (s - c))

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(4 s)^2 = (s (s - a) (s - b) (s - c))

16 * s^2 = s^4 - s^3(a + b + c) + s^2(ab + ac + bc) - s(abc)

Подставляем a + b + c = 33 и получаем:

16 * s^2 = s^4 - 33s^3 + s^2(ab + ac + bc) - s(abc)

Теперь делаем замену переменных a + b + c = 33 и ab + ac + bc = q, abc = p:

16 * s^2 = s^4 - 33s^3 + s^2q - sp

s^4 - 33s^3 + s^2q - sp - 16s^2 = 0

Применяем теорему Виета и находим s:

s = (a + b + c) / 2 = 33 / 2 = 16.5

Используем найденное значение s для нахождения сторон треугольника:

a = 16.5 - 4 = 12.5
b = 16.5 - 4 = 12.5
c = 16.5 - 4 = 12.5

Теперь вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

S = sqrt(16.5 (16.5 - 12.5) (16.5 - 12.5) (16.5 - 12.5)) = sqrt(16.5 4 4 4) = sqrt(528) ≈ 23.0

Таким образом, площадь треугольника составляет около 23.0.