Чтобы найти первообразную для функции F(x) = 4sin(x)cos(x), можно воспользоваться интегрированием по частям. По формуле интегрирования по частям, интеграл от произведения двух функций равен произведению первой функции на интеграл от второй, уменьшенный на интеграл от производной первой функции, умноженной на интеграл от второй функции.

Итак, возьмем u = sin(x) и dv = 4cos(x)dx. Тогда получаем du = cos(x)dx и v = 4sin(x).

Применим формулу интегрирования по частям:

∫4sin(x)cos(x)dx = 4sin(x) 4sin(x) - ∫4sin(x)cos(x)dx

Отсюда можно выразить ∫4sin(x)cos(x)dx:

∫4sin(x)cos(x)dx = 16sin^2(x) - ∫4sin(x)cos(x)dx

Перенесем ∫4sin(x)cos(x)dx влево:

2∫4sin(x)cos(x)dx = 16sin^2(x)

∫4sin(x)cos(x)dx = 8sin^2(x)

Таким образом, первообразная для функции F(x) = 4sin(x)cos(x) равна 8sin^2(x) + C, где C - произвольная постоянная.