Для исследования на монотонность функции y=x^3+3x^2-9x найдем ее производную.

y' = 3x^2 + 6x - 9

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: x = -3 и x = 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 27 + 27 = 27
y(1) = 1^3 + 31^2 - 91 = 1 + 3 - 9 = -5

Таким образом, у функции есть локальный максимум при x = -3 и локальный минимум при x = 1.

Проверим монотонность функции на интервалах (-бесконечность, -3), (-3, 1) и (1, +бесконечность).

Для интервала (-бесконечность, -3):

Выберем произвольные значения x1 < x2, где x1 < x2, например -4 и -2. Подставим их в производную функции:

y'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15
y'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) - 9 = 12 - 12 - 9 = -9

Так как y'(-4) > y'(-2), то на интервале (-бесконечность, -3) функция убывает.

Для интервала (-3, 1):

Проверим значение производной при x = 0:

y'(0) = 30^2 + 60 - 9 = -9

Так как значение производной отрицательное на всем интервале (-3, 1), то на этом интервале функция убывает.

Для интервала (1, +бесконечность):

Выберем произвольные значения x1 < x2, где x1 < x2, например 0 и 2. Подставим их в производную функции:

y'(0) = 30^2 + 60 - 9 = -9
y'(2) = 32^2 + 62 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15

Так как y'(0) < y'(2), на интервале (1, +бесконечность) функция возрастает.

Итак, функция y=x^3+3x^2-9x возрастает на интервале (1, +бесконечность) и убывает на интервалах (-бесконечность, -3) и (-3, 1).