Для того чтобы найти наименьшее натуральное решение данного неравенства -x^3 + 6x^2 - 8x > 0, нужно проанализировать знак выражения на интервалах между корнями уравнения x^3 - 6x^2 + 8x = 0.

Найдем корни этого уравнения:

x^3 - 6x^2 + 8x = x(x^2 - 6x + 8) = x(x-2)(x-4) = 0

Отсюда получаем корни уравнения: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4

Теперь построим знаки выражения на интервалах между корнями:

1) (-∞, 0): Выберем х = -1, подставляем в выражение: -(-1)^3 + 6(-1)^2 - 8(-1) = 1 + 6 + 8 > 0

2) (0, 2): Выберем х = 1, подставляем в выражение: -(1)^3 + 6(1)^2 - 8(1) = -1 + 6 - 8 = -3 < 0

3) (2, 4): Выберем х = 3, подставляем в выражение: -(3)^3 + 6(3)^2 - 8(3) = -27 + 54 - 24 = 3 > 0

4) (4, +∞): Выберем х = 5, подставляем в выражение: -(5)^3 + 6(5)^2 - 8(5) = -125 + 150 - 40 > 0

Таким образом, наименьшее натуральное решение неравенства -x^3 + 6x^2 - 8x > 0 равно 4.