Пусть X - количество ребят, записавшихся только на плавание, Y - количество ребят, записавшихся только на прыжки в воду, Z - количество ребят, записавшихся и на плавание и на прыжки в воду.

Тогда по условию задачи система уравнений имеет вид:
X + Z = 55,
Y + Z = 116,
Z = 30.

Подставляем значение Z в первые два уравнения:
X + 30 = 55,
Y + 30 = 116.

Отсюда получаем:
X = 25,
Y = 86.

Таким образом, на плавание записалось 25 + 30 = 55 ребят, на прыжки в воду - 86 + 30 = 116 ребят. Вместе на плавание и на прыжки в воду записалось 30 ребят.