Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулами сложения и вычитания тангенса:

(tg + ctg)^2 = tg^2 + 2tgctg + ctg^2(tg - ctg)^2 = tg^2 - 2tgctg + ctg^2

Теперь вычтем второе выражение из первого:

(tg + ctg)^2 - (tg - ctg)^2 = (tg^2 + 2tgctg + ctg^2) - (tg^2 - 2tgctg + ctg^2)

Упростим и раскроем скобки:

tg^2 + 2tgctg + ctg^2 - tg^2 + 2tgctg - ctg^2
tg^2 - tg^2 + 2tgctg + 2tgctg + ctg^2 - ctg^2
4tgctg

Таким образом, (tg + ctg)^2 - (tg - ctg)^2 = 4tgctg, что и требовалось доказать.