Для того чтобы уравнения имели общий корень, их дискриминанты должны быть равны нулю.

Для уравнения 2x + a^2 - 4 = 0:
Дискриминант D1 = 0
D1 = 0 - 4*2 = -8
0 = a^2 - 4
a^2 = 4
a = ±2

Для уравнения 2x^2 + (a^2 - 4)x + a = 0:
Дискриминант D2 = 0
D2 = (a^2 - 4)^2 - 42a
0 = (4-4)^2 - 8a
0 = -8a
a = 0

Таким образом, уравнения будут иметь общий корень при a = 0. Подставим это значение обратно в уравнения:
2x + 0^2 - 4 = 0
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

22^2 + (0^2 - 4)2 + 0 = 0
8 - 8 = 0

Таким образом, общий корень уравнений равен x = 2.