Для начала найдем производную данной функции, чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

f'(x) = 2x - 16/x^2

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

2x - 16/x^2 = 0
2x = 16/x^2
x^3 = 8
x = 2

Таким образом, точка экстремума функции находится в точке x = 2.

Теперь проанализируем знаки производной в окрестности этой точки:

При x < 2: f'(x) < 0, значит функция убывает на промежутке (-∞, 2)

При x > 2: f'(x) > 0, значит функция возрастает на промежутке (2, +∞)

Теперь построим график данной функции:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
return x**2 + 16/x

x = np.linspace(0.5, 3.5, 100)
y = f(x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x)=x^2+16/x', color='b')
plt.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', label='x=2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x)=x^2+16/x')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике видно, что функция убывает на промежутке (-∞, 2) и возрастает на промежутке (2, +∞).