Для доказательства данного тождества мы можем воспользоваться методом долгого деления многочленов. Разделим (x^5 + 1) на (x + 1):

[
\begin{array}{r|l}
x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 & x + 1 \hspace{1em}|\hspace{1em} x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1\
\cline{2-2}

(x^5 + x^4) & x^4\
\hline
x^4 & -x^3\(x^4 + x^3) & x^3\
\hline
0 & -x^2\(x - x^2) & x^2\
\hline
x^2 & - x\(x^2 + x) & x\
\hline
0 & 1\(1 - 1) & 1\
\hline
0 & 0\
\end{array}
]

Таким образом, мы видим, что (x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)). Тождество доказано.