Давайте сначала найдем общее решение системы уравнений:

Из первого уравнения получаем:
dx/dt = y + e^(3t)
dy/dt = x + 5e^(3t)

Берем производную от первого уравнения:
d^2x/dt^2 = dy/dt = x + 5e^(3t)

Подставим dx/dt из первого уравнения во второе уравнение:
dx/dt = y + e^(3t)
d(y + e^(3t))/dt = x + 5e^(3t)
dy/dt + 3e^(3t) = x + 5e^(3t)
dy/dt = x + 2e^(3t)

Теперь подставляем dx/dt и dy/dt:
d^2x/dt^2 = dy/dt = x + 5e^(3t)
dx/dt + 2e^(3t) = x + 5e^(3t)
y + e^(3t) + 2e^(3t) = x + 5e^(3t)
y + 3e^(3t) = x + 5e^(3t)

Теперь получаем систему уравнений:
dx/dt = y + e^(3t)
dy/dt = x + 5e^(3t)
y + 3e^(3t) = x + 5e^(3t)

Находим общее решение данной системы:
x(t) = C1e^(3t) - 2e^(3t) + 5t
y(t) = C2e^(3t) - 3e^(3t) + e^(3t)*5t

Далее находим частные решения по начальным условиям:
x(0) = 2 -> 2 = C1 - 2 -> C1 = 4
y(0) = 3 -> 3 = C2 - 3 -> C2 = 6

Итак, частные решения:
x(t) = 4e^(3t) - 2e^(3t) + 5t
y(t) = 6e^(3t) - 3e^(3t) + 5t - 3.