Пусть стороны треугольника АВD равны АВ = х, ВD = у, AD = z.

Тогда периметры треугольников АВD и ВDС выражаются следующим образом:
12 = х + у + z,
30 = у + BC + z.

Так как периметр четырёхугольника АВDС равен 32 см, то АВ + ВС + CD + DA = 32. Учитывая, что DA = AB и CD = CB, выражение примет вид:
2x + 2y = 32,
x + y = 16.

Из системы уравнений находим x = 9, y = 7.

Следовательно, длина отрезка ВD равна 7 см.