Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения 2х^2 + 3х + 1 = 0.

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 3, c = 1.

D = 3^2 - 421 = 9 - 8 = 1.

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Найдем корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.

x1 = (-3 + √1) / 4 = (-3 + 1) / 4 = -2 / 4 = -0.5.

x2 = (-3 - √1) / 4 = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1.

Итак, корни уравнения: x1 = -0.5, x2 = -1.

Теперь проведем исследование интервалов на основе найденных корней:

1) x < -1: Подставляем любое значение меньше -1 (например, -2): 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0. Получаем, что неравенство выполнено.

2) -1 < x < -0.5: Подставляем любое значение между -1 и -0.5 (например, -0.75): 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) + 1 = 1.125 - 2.25 + 1 = 0.875 > 0. Неравенство также выполнено.

3) x > -0.5: Подставляем любое значение больше -0.5 (например, 0): 20^2 + 30 + 1 = 1 > 0. Неравенство выполняется.

Итак, решение данного квадратного неравенства: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, -0.5) ∪ (-0.5, +∞).