Упростим выражение:
tg40° + tg20° = $sin40°/cos40°$ + $sin20°/cos20°$ = $2sin30°cos10°$ / $cos40°cos20°$ = 2cos10° / $cos40°cos20°$ 1 - tg40° * tg20° = 1 - $sin40°sin20°$ / $cos40°cos20°$ = 1 - sin30° = 1 - 1/2 = 1/2

Итак, $tg40^{\prime }+tg20^{\prime }$ / $1-tg40^{\prime }\ast tg20^{\prime }$ = $2cos10°/(cos40°cos20°)$ / $1/2$ = 4cos10° / $cos40°cos20°$

Решим уравнение:
sin x cos3x + sin3x cosx = sin4x = 1
sin4x = 1
4x = π/2 + 2kπ, где k - целое число

x = $\pi /8+k\pi /2$, где k - целое число

Вычислим cos$альфа+бетта$, зная, что cosальфа = -3/5 и ПИ:
cos$альфа+бетта$ = cosальфа cosбетта - sinальфа sinбетта
sinальфа = sqrt$1-co{s}^2альфа$ = sqrt$1-(-3/5{)}^2$ = -4/5

cos$альфа+бетта$ = $-3/5$cosбетта - $-4/5$sinбетта = -3/5 cosбетта + 4/5 sinбетта

Так как sinбетта = sqrt$1-co{s}^2бетта$ = sqrt$1-(-4/5{)}^2$ = -3/5, то
cosбетта = sqrt$1-(-3/5{)}^2$ = 4/5

Подставляем в выражение:
cos$альфа+бетта$ = -3/5 4/5 + 4/5 -3/5 = -12/25 - 12/25 = -24/25