Для нахождения производной данной функции необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Пусть u = arctg^3(ln(sqrt(x) / (x+2))), тогда y = u.

Для нахождения производной функции y по x, нужно выразить производную u по x и умножить на производную x по y.

Начнем с нахождения производной u по x:
Пусть z = ln(sqrt(x) / (x+2))
Тогда u = arctg^3(z)
Производная z по x:
z' = (1 / (sqrt(x) / (x+2))) ((1/2)x^(-1/2) (x+2) - (1/2) sqrt(x)) / (x+2)^2
z' = ((x+2)^2 - sqrt(x) x^(1/2)) / (2x(x+2)^2)
z' = (x^2 + 4x + 4 - sqrt(x) sqrt(x)) / (2x(x+2)^2)
z' = (x^2 + 4x + 4 - x) / (2x(x+2)^2)
z' = (x^2 + 3x + 4) / (2x(x+2)^2)

Теперь найдем производную u от z:
u' = 3(arctg^2(z)) / (1 + z^2)
u' = 3(arctg^2(ln(sqrt(x) / (x+2)))) / (1 + (ln(sqrt(x) / (x+2)))^2)

Наконец, найдем производную y от x:
y' = u' z'
y' = 3(arctg^2(ln(sqrt(x) / (x+2))) / (1 + (ln(sqrt(x) / (x+2)))^2) (x^2 + 3x + 4) / (2x(x+2)^2)

Таким образом, производная функции y = arctg^3(ln(sqrt(x) / (x+2))) равна
y' = 3(arctg^2(ln(sqrt(x) / (x+2))) (x^2 + 3x + 4) / 2x(x+2)^2 (1 + (ln(sqrt(x) / (x+2)))^2)