Для начала решим неравенства по отдельности:

1) 5x + 12 ≤ 0
5x ≤ -12
x ≤ -12/5 = -2.4

2) 3x - 5 ≥ -23
3x ≥ -18
x ≥ -18/3 = -6

Теперь найдем пересечение множеств, то есть максимальное значение x, которому одновременно удовлетворяют оба неравенства:
Максимальное значение x = -2.4

Таким образом, наибольшее значение x, удовлетворяющее заданной системе неравенств, равно -2.4.