Для начала найдем корни квадратного уравнения -3x^2 + 6x + 7 = 0, используя дискриминант:

D = 6^2 - 4(-3)7 = 36 + 84 = 120

x1 = (-6 + sqrt(120)) / (2*(-3)) = (-6 + 2sqrt(30)) / -6 = 1 - (sqrt(30) / 3)

x2 = (-6 - sqrt(120)) / (2*(-3)) = (-6 - 2sqrt(30)) / -6 = 1 + (sqrt(30) / 3)

Теперь построим числовую прямую, где на ней разместим корни уравнения и найдем интервалы, для которых неравенство -3x^2 + 6x + 7 >= 0 будет верным:

------x1----------x2-------

Теперь выберем точку внутри каждого интервала и проверим значение неравенства:

В интервале (-∞, x1):
Пусть x = 0:
-30^2 + 60 + 7 = 7 > 0

В интервале (x1, x2):
Пусть x = 1:
-31^2 + 61 + 7 = 4 > 0

В интервале (x2, +∞):
Пусть x = 2:
-32^2 + 62 + 7 = 7 > 0

Итак, наибольшее целое решение неравенства -3x^2 + 6x + 7 >= 0 - это x принадлежит интервалу (x2, +∞), то есть x >= 2.