Для доказательства того, что выражение $x^2 + 4x + 20$ принимает только положительные значения, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата.

Сначала перепишем данное выражение в виде полного квадрата:

$x^2 + 4x + 4 + 16 + 20 = (x+2)^2 + 16 + 20 = (x+2)^2 + 36$

Теперь обратим внимание на то, что $(x+2)^2$ является квадратом любого действительного числа и, следовательно, всегда больше или равно нулю. Таким образом, $(x+2)^2 + 36$ также будет больше или равно нулю, и, следовательно, выражение $x^2 + 4x + 20$ будет всегда принимать положительные значения.

Таким образом, данное выражение принимает только положительные значения.