радиус вписанной окружности треугольника АВС, если известно, что длина биссектрисы угла В равна 8 см, а длина биссектрисы угла С равна 10 см.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о радиусе вписанной окружности треугольника, которая гласит:

$$r=\frac{2S}{a+b+c}$$

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, а, b, c - длины сторон треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p - полупериметр треугольника, который вычисляется следующим образом:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

Теперь рассчитаем площадь треугольника:

$$p=\frac{8+10+c}{2}=9+\frac{c}{2}$$

Следовательно, площадь треугольника:

$$S=\sqrt{(9+\frac{c}{2})(1)(1)(1)}=\sqrt{9+\frac{c}{2}}$$

Теперь мы можем рассчитать радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{2\sqrt{9+\frac{c}{2}}}{8+10+c}=\frac{2\sqrt{9+\frac{c}{2}}}{18+c}$$

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника АВС равен $\frac{2\sqrt{9+\frac{c}{2}}}{18+c}$.