Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда выходящих из одной вершины равны x, x+1 и x+2 см.

Тогда площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна:
2(x(x+1) + x(x+2) + (x+1)(x+2)) = 724
2(x^2 + x + x^2 + 2x + x^2 + 3x + 2) = 724
2(3x^2 + 6x + 2) = 724
6x^2 + 12x + 4 = 724
6x^2 + 12x - 720 = 0
x^2 + 2x - 120 = 0
(x + 12)(x - 10) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 10 и x = -12. Так как длины ребер должны быть натуральными числами, то x = 10.

Таким образом, длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 10 см, 11 см и 12 см.