Обозначим длину и ширину прямоугольника через а и b.

Так как периметр прямоугольника равен 40 см, то получаем уравнение:

2a + 2b = 40,
a + b = 20,
b = 20 - a.

Также из условия задачи известно, что сумма площадей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 208:

a^2 + b^2 = 208,
a^2 + (20 - a)^2 = 208,
a^2 + 400 - 40a + a^2 = 208,
2a^2 - 40a + 192 = 0,
a^2 - 20a + 96 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = (-20)^2 - 4196 = 400 - 384 = 16.

D > 0, a значит, у нас есть два корня:

a1 = (20 + 4) / 2 = 12,
a2 = (20 - 4) / 2 = 8.

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 12 см и 8 см.