Для того чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы уравнения системы имели общие решения.

Исследуем уравнения системы:

1) x$x^2+y^2-y-2$ = |x|$y-2$ 2) y = x + a

Подставим y = x + a в уравнение $1$:

x$x^2+(x+a{)}^2-(x+a)-2$ = |x|$x+a-2$

x$x^2+x^2+2ax+a^2-x-a-2$ = |x|$x+a-2$

2x^3 + 2ax^2 + a^2x - x^2 - ax - 2x = |x|$x+a-2$

2x^3 + 2ax^2 + a^2x - x^2 - ax - 2x = x$x+a-2$

2x^3 + 2ax^2 + a^2x - x^2 - ax - 2x = x^2 + ax - 2x

2x^3 + 2ax^2 + a^2x - x^2 - ax - 2x = x^2 + ax - 2x

2x^3 + 2ax^2 + a^2x - x^2 - ax - 2x - x^2 - ax + 2x = 0

2x^3 + a^2x = 0

x$2x^2+a^2$ = 0

Таким образом, система будет иметь три решения при x = 0 и 2x^2 + a^2 = 0. 2x^2 + a^2 = 0 имеет решения при a = ±i√2x^2.

Итак, система имеет три решения при x = 0 и a = ±i√2x^2.