Для начала найдем длину сторон треугольника ABC.

Так как sinA = 12/13, то можно записать, что противоположная катету сторона АС равна 13, а противоположная гипотенузе сторона ВС равна 12. Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 13.

Так как sinC = 4/5, то можно записать, что противоположная катету сторона АВ равна 5, а противоположная гипотенузе сторона СВ равна 4.

Теперь выразим площадь треугольника ABC через радиус окружности, вписанной в него: S = p*r, где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника ABC равен: p = (AB + AC + BC)/2 = (5 + 13 + 12)/2 = 15.

Таким образом, S = 15*r.

Но также площадь треугольника ABC можно представить через высоту BH: S = 1/2 BH AB.

Подставим значения высоты BH = 12, AB = 5, и найдем S = 30.

Таким образом, получаем уравнение: 15*r = 30, откуда: r = 2.

Итак, радиус вписанной в остроугольный треугольник АВС окружности равен 2.