Для решения этой задачи нам нужно найти сумму арифметической прогрессии, где первый член равен 23 минуты, разность между членами равна -2 (так как каждый следующий член на 2 минуты меньше предыдущего) и количество членов равно 6.

Формула суммы арифметической прогрессии:
S = n * (a1 + an) / 2,
где S - сумма, n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член.

В данном случае n = 6, a1 = 23, an = a1 + (n - 1)d, d = -2.
an = 23 + (6 - 1)(-2) = 23 - 10 = 13.

Теперь можем подставить значения в формулу:
S = 6 (23 + 13) / 2 = 6 36 / 2 = 216 / 2 = 108 минут.

Таким образом, всего для обработки всех 6 деталей слесарю потребуется 108 минут.