1.) 1+sinx-2cos^2x<=0
Перепишем неравенство:
sinx = 1 - 2cos^2x
1 - 2cos^2x + sinx - 1 <= 0
-sin^2x + sinx <= 0
sinx(1 - sinx) <= 0
sinx(1 - sinx) <= 0
Решение: 0 <= x <= π

2.) cos^2x > 3/4
cosx > √3/2 or cosx < -√3/2
Решение: -π/6 < x < π/6 or π/2 < x < 5π/6

3.) tgx + 5ctgx - 6 < 0
Перепишем в терминах sin и cos:
sinx/cosx + 5cosx/sinx - 6 < 0
(sin^2x + 5cos^2x - 6cosx sinx)/cosx sinx < 0
(cosx - 1)(5cosx + 6)/cosx* sinx < 0
cosx < 1 and -6/5 < cosx < ∞
Решение: -π < x < 0 or 0 < x < π

4.) 1 + cosx - 2sin^2x <= 0
1 + cosx - 2(1 - cos^2x) <= 0
cos^2x - cosx + 1 >= 0
(cosx - 1/2)^2 + 3/4 <= 0
Решения отсутствуют

5.) f(x) = (sin^3xcosx - cos^3xsinx)/cos4x
а) Доказательство:
(sin^3x cosx - cos^3x sinx) / cos4x = (sinx cosx (sin^2x - cos^2x)) / cos4x = -sin2x / 2 = -1/2 tg2x = -1/2 tg4x
б) f(x) = -1/2 tg4x = √3/2
tg4x = -√3
x = -π/6 + πk, k - целое число
в) f(x) >= 1/2
-1/2 tg4x >= 1/2
tg4x <= -1
x = -π/4 + πk, k - целое число