Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой разности косинусов:

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Применим данную формулу к разности углов TgA и Tg2A:

cos(2A) = cosAcos2A + sinAsin2A

Далее заметим, что TgA = sinA/cosA, а Tg2A = sin2A/cos2A. Подставим это в полученное уравнение:

cos(2A) = (sinA/cosA)(sin2A/cos2A) + sinA*sin2A

Упростим выражение, учитывая, что sinAsin2A = sinAsinA = sin^2A и cosAcos2A = cosAcosA = cos^2A:

cos(2A) = (sinAsin2A)/(cosAcos2A) + sin^2A
cos(2A) = sinA*sin2A + sin^2A
cos(2A) = sinA(2sinA) + sin^2A
cos(2A) = 2sin^2A + sin^2A
cos(2A) = 3sin^2A

Теперь заметим, что sin^2A = 1 - cos^2A. Подставим это в уравнение:

cos(2A) = 3(1 - cos^2A)
cos(2A) = 3 - 3cos^2A

Таким образом, мы доказали тождество TgA*Tg2A - TgA = cos(2A).