Для того чтобы многочлен P$x$ = 2x^4 - 5x^3 + ax^2 + x - b делился без остатка на x + 1, необходимо и достаточно, чтобы P$-1$ = 0. Запишем это условие:

P$-1$ = 2$-1$^4 - 5$-1$^3 + a$-1$^2 - 1 - b = 2 + 5 + a - 1 - b = 6 + a - b = 0.

То есть, a - b = -6.

Также, чтобы многочлен P$x$ при делении на x - 3 давал в остатке -8, необходимо и достаточно, чтобы P$3$ = -8. Запишем это условие:

P$3$ = 2$3$^4 - 5$3$^3 + a$3$^2 + 3 - b = 162 - 135 + 9a + 3 - b = 30 + 9a - b = -8.

То есть, 9a - b = -38.

Теперь решим эту систему уравнений:

a - b = -6,
9a - b = -38.

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

8a = -32,
a = -4.

Подставим найденное значение a в первое уравнение:

-4 - b = -6,
b = 2.

Таким образом, при a = -4 и b = 2 многочлен P$x$ = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x - 2 делится без остатка на x + 1 и при делении на x - 3 даёт в остатке -8.