Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [0; 2] нужно найти значения функции на концах отрезка (то есть в точках x = 0 и x = 2) и в критических точках внутри отрезка (то есть там, где производная равна нулю).

𝑓(0) = 0^3 - 60^2 + 90 + 3 = 3𝑓(2) = 2^3 - 62^2 + 92 + 3 = 2 - 24 + 18 + 3 = -1Найдем критические точки, где производная равна нулю:
𝑓'(𝑥) = 3𝑥^2 - 12𝑥 + 9
3𝑥^2 - 12𝑥 + 9 = 0
𝑥^2 - 4𝑥 + 3 = 0
(𝑥 - 3)(𝑥 - 1) = 0
Для x = 1 и x = 3 производная равна нулю.

Теперь найдем значения функции в точках x = 1 и x = 3:

𝑓(1) = 1^3 - 61^2 + 91 + 3 = 1 - 6 + 9 + 3 = 7𝑓(3) = 3^3 - 63^2 + 93 + 3 = 27 - 54 + 27 + 3 = 3

Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
Максимальное значение функции равно 7, и достигается оно при x = 1.