A) Найдем производную функции f(x) = (2x + 1)^3:

f'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем значения х:

6(2x + 1)^2 = 0
(2x + 1)^2 = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2

Точка экстремума: (-1/2, 0)

Исследуем функцию на монотонность вокруг точки экстремума:

Проводим знаки производной по обе стороны от точки х = -1/2:

f'(-2) = 6(2(-2) + 1)^2 = 6(-3)^2 = 54 (положительное значение)
f'(-1) = 6(2(-1) + 1)^2 = 6(-1)^2 = 6 (положительное значение)
f'(-1/2) = 6(2(-1/2) + 1)^2 = 6(0)^2 = 0
f'(0) = 6(2(0) + 1)^2 = 61^2 = 6 (положительное значение)

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, -1/2) и возрастает на интервале (-1/2, +∞). Точка экстремума (-1/2, 0) является точкой минимума.

B) Найдем производную функции f(x) = √(x^2 - 3):

f'(x) = (1/2)(x^2 - 3)^(-1/2)2x = x / (√(x^2 - 3))

Функция не имеет экстремумов, так как корень квадратный убывающая функция и не имеют точек максимума или минимума.

Промежутки возрастания и убывания производной f(x)=4x^3+12x:

f'(x) = 4(3x^2 + 3) = 12x^2 + 12

Производная является положительной для всех значений x, поэтому функция f(x) = 4x^3 + 12x возрастает на всей числовой прямой.