Кратко о парадоксе. Пусть у окружности радиуса $R$ берут «случайную» хорду. Вопрос Бернарда/Бертрана: какова вероятность, что длина хорды больше стороны вписанного равностороннего треугольника (эта сторона равна $R\sqrt{3}$)? Разные естественные процедурЫ выбора дают разные численные ответы — вот три классических.
Три способа выбора и их расчёты
1) Выбираем два случайных конца на окружности (равномерно и независимо по углу). Пусть центральный угол между концами равен $\varphi \in [0,\pi ]$. Длина хорды
$$L=2R\sin \frac{\varphi }{2}.$$ Условие $L>R\sqrt{3}$ эквивалентно $\varphi >2\pi /3$. При равномерном распределении $\varphi$ на $[0,\pi ]$ получаем вероятность
$$P=\frac{\pi -2\pi /3}{\pi }=\frac{1}{3}.$$
2) Выбираем случайное направление (радиус) и на нём точку с равномерным по расстоянию от центра распределением $d\in [0,R]$; строим хорду, перпендикулярную радиусу через эту точку (метод «случайной точки на радиусе»). Хорда длиннее $R\sqrt{3}$ тогда и только тогда, когда $d<R/2$. Поскольку $d$ равномерно в $[0,R]$,
$$P=\frac{R/2}{R}=\frac{1}{2}.$$
3) Выбираем середину хорды равномерно в площади круга радиуса $R$ (метод «случайный центр хорды»). Хорда длиннее $R\sqrt{3}$ тогда и только тогда, когда её середина лежит внутри круга радиуса $R/2$. Поэтому
$$P=\frac{\pi (R/2{)}^2}{\pi R^2}=\frac{1}{4}.$$
Почему разные ответы? Главное — слово «случайная» не задаёт закон распределения на множестве хорд. Множество всех хорд двумерно, и разные «естественные» процедурЫ выбора соответствуют разным мерам на этом множестве (разным параметризациям и равномерным распределениям по ним). Принцип равновероятности (indifference) неоднозначен: равномерность по углам, по расстоянию от центра, или по положению середины — всё разные предположения.
Критерии «естественности» выбора случайного эксперимента
- Симметрия (инвариантность): требовать, чтобы вероятность не зависела от поворота окружности (ротационная инвариантность) — обычно естественно. Но какие ещё преобразования требовать? Ротация, сдвиг центра (если центр не фиксирован), масштабирование — разные требования приводят к разным мерам.
- Операциональность / физическая реализуемость: считать естественным тот метод, который соответствует реально выполняемому эксперименту (бросание палочек, равномерный выбор двух точек на окружности и т.д.). Тогда статистика определяется физическим способом.
- Выбор параметров: прежде чем применять принцип максимума неопределённости или принцип равновероятности, нужно указать переменные, по которым вы требуете «равномерности». Это не математический трюк, а часть моделирования.
- Принцип трансформационных групп (Jaynes): требование инвариантности распределения при группе преобразований, считающихся релевантными для задачи. Разные группы → разные уникальные решения.
Как это влияет на формулировку вероятностной модели
- Нельзя задать задачу формально «возьмите случайную хорду» без описания способа генерации или без явно заданной меры на пространстве хорд. Модель должна содержать:
1) пространство элементарных исходов (например, пары углов, центр хорд и направление и т.п.),
2) меру/распределение на нём (однозначно заданную условиями симметрии или экспериментом),
3) критерий интересующего события (здесь $L>R\sqrt{3}$).
- Если требуется «универсальная» естественность, надо явно выбрать и обосновать симметрии (например, требуем только ротационную инвариантность недостаточно, нужно решить, требовать ли инвариантность при параллельном сдвиге центров и т.д.). Jaynes показал, что одно конкретное естественное требование (инвариантность при всем группе Евклидовых преобразований, применимых к задаче) ведёт к распределению, соответствующему второй процедуре и к $P=\frac{1}{2}$; другие требований — к другим ответам.
- Практический вывод: формулировка вероятностной задачи должна включать описание эксперимента (или выбор инвариантной группы). Тогда парадокса не будет: разные предположения — разные модели — разные ответы, и все они корректны для своих моделей.
Коротко: разные ответы возникают не из ошибки в вычислениях, а из неоднозначности определения «случайной хорды». Решение — явно задать способ генерации (операционально) или выбрать и обосновать набор симметрий/инвариантностей, на основании которых единственно задаётся мера.