Дано:

cos2α = 1/3
π < α < 3π/2

Используем тригонометрическую идентичность:

cos2α = 2(cos^2α - 1)
1/3 = 2(cos^2α - 1)
1/3 = 2cos^2α - 2
2cos^2α = 5/3
cos^2α = 5/6
cosα = ±√(5/6)

Так как α находится во втором квадранте, то cosα < 0 и мы получаем:

cosα = -√(5/6)

Теперь используем связи между тангенсом и синусом и косинусом:

tgα = sinα / cosα = sinα / (-√(5/6))

Мы знаем, что α находится во втором квадранте, поэтому sinα > 0.

Исходя из этого, tgα = sinα / (-√(5/6))

Используем тождество Пифагора:

sin^2α + cos^2α = 1
sin^2α + 5/6 = 1
sin^2α = 1 - 5/6
sin^2α = 1/6
sinα = ±√(1/6)

Так как sinα > 0 во втором квадранте, то sinα = √(1/6)

Подставляем значения sinα и cosα в формулу для tgα:

tgα = sinα / (-√(5/6))
tgα = (1/√6) / (-√(5/6))
tgα = -1/√5

Ответ:
tgα = -1/√5