Система уравнений имеет ровно два решения, если уравнения задают две окружности с общими точками пересечения.

Из уравнений {$x-y$^2=2$a-7$ и x^2+y^2=6+3a} получаем следующие уравнения окружностей:

Центр первой окружности: $y-x$=0, т.е. y=x
Уравнение окружности имеет вид: $x-x$^2 = 2$a-7$, то есть 0=2$a-7$, a=7.
Следовательно, первая окружность имеет радиус 0 и центр в точке $7,7$.Центр второй окружности: x^2+y^2=6+3a
Уравнение окружности имеет центр $0,0$ и радиус sqrt$6+3a$.

Итак, система уравнений имеет ровно два решения при a=7, когда одна окружность имеет радиус 0, а вторая окружность имеет положительный радиус и пересекает первую окружность в двух точках.